从问题可以看出提问者对我们国家历法知识不了解。
首先这两个节日所采用的历法不一样，中秋是我们传统的农历，也叫阴历或夏历。国庆使用的历法是阳历，也称公历。
我们国家虽然采用公元纪年，这点跟国际大部分国家一致，为的是更好记录事件发生的时间点，减少时间换算，所用的历法也叫公历，就是全球大部分地方使用的历法。
如果我们不用公元纪年，改成用共和国纪年，2020年可以说成共和国71年，如果碰上外国的事件，那就要进行换算，无疑增加了麻烦。比如我国台湾省，采用民国纪年，他们的公司注册信息写着民国五十八年九月十四。那你拿着这个公司的信息，如果你想了解这个公司，你就要把民国换算成公元纪年。如果你还不知道民国元年是哪一年（1911年），你还得上网去查妈民国与公元纪年的对应关系，那增加了多少麻烦？
前面提到的是纪年，另外我国还有一套指导农业生产，经过了几千年发展和修改的历法－－农历（也叫夏历，至于为什么叫夏历，自己去上网科普）。
也就是说我们国家同时使用两套历法，一套公历，采用公元纪年，在年份上能够与其他大部分国家纪年上对应，减少文化差异。公历是采用以地球围绕太阳一周所需时间作为纪年标准，以地球自转一周作为计时标准，也就是地球自转一周为一天24小时，地球围绕太阳一周为一年，即365天。因此一般把公历也叫太阳历或者阳历，这样一年是365天，一年分为12个月，平均每个月约为30天，因为30天一个月评分一年，还剩5天，为了补足这五天，因此阳历设置了大月和小月，大月31天，小月30天。但是这样算还有一个问题，如果这样大约小月平均下来，大月6个月，小月6个月，这样一年又一年多了一天，怎么办？于是有人提议把2月份减一天，这样单月是大月，31天，双月是小月，30天。2月比较特殊，减一天。这样一年就是365天了，而地球绕太阳公转实际时间是365.24天，这样每年都会多一点，4年后凑成一个整数，刚好多一天，最后历法把这一天放在了2月，因为2月只有29天增加了一天，这样就每4年增加一天366天。
另外我们还采用农历（阴历），每一天同样还是以地球自转一周为一天，以月亮绕地球一周为一个月。月亮绕地球一周的时间只有27.32天。这样设置大小月，大月30天，小月29天，但是大小月不是交替出现，有时连续几个小月。
阴历一年12个月按照月球绕地球公转时间算，实际只有327.84天。比365天少了28天。按照平时设置大小月，阴历一年就是355天到357天。比太阳历还是少了8-10天一年。怎么把这个每年少的这8-10天补回来呢？我们聪明的祖先就设置了阴历的闰月，也就是过几年，阴历就会多一个月，比如今年2020年，过了四月，还有一个闰四月。这样过几年补一个月就把这个少的时间补回来了。而闰月的设置也不是平均的，比较容易记的方式就是十九年七闰，也就是说，十九年时间里，有七年都会多一个月。平均两年多有一个闰月。
如上图，从2000年到2020年20年间，总共闰了七次，并且这期间四月闰了三回，分别是2001年，2012年，2020年。
在2020年恰好阳历也是闰年。两者相合，恰好造成中秋国庆同一天。上一次国庆中秋在同一天的是2001年。2001年公历不是闰年，但是阴历有闰四月。在1982年也是中秋国庆在同一天。1982年公历也不是闰年，但是阴历有闰四月。
从这两个巧合我们基本可以预测19年会有一次中秋和国庆在同一天的情况。但是也不完全一定，只是这样的概率比较大，比如下一次2039年中秋和国庆就差了一天。
这点很多人在过生日的时候也有这样的情况，总感觉除了出生那一年，以后阴历生日和阳历生日就过不到一块了。而实际要下次再过到一起，一般十九年也会出现一次。
综上，要国庆节和中秋节在同一天，一定要阴历有闰月，并且这个闰月必须是在上半年。
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