点和直线不可定义。因为真正需要的是点和直线之间的关系，只要给出一个直线的定义，就是一套几何学。
什么是直线？一个看似非常简单的问题，很多人会说直线就是“两点间最短的线”。问题是什么是最短？判断长短需要有距离的概念，而测量距离又必须沿直线，比如在几何中用尺测距离，必然要求尺的形状是直的，因此距离的概念首先是建立在直线概念之上。这样一来，你所说的直线，只是在循环定义，绕着弯骗自己罢了。
欧几里得在《几何原本》里的定义是：“直线是它上面的点一样地平放着的线”。直线最初的印象指向生活中的某个事物，例如一根木条，拉直的绳子。在欧几里得的定义中，“一样地平放着”仅仅是生活中的经验，因此这也不是严格的定义，而只是一个描述。
想要定义直线的概念，首先需要重新定义距离，几何上难以定义距离，那代数方法是否可行？你可能会想到，直接建立笛卡尔坐标系，通过点与代数之间的一一对应来定义距离。这显然是困难的，因为坐标轴要画成直线，在没有直线概念时同样不能画出坐标轴。
于是终于引出了微积分思想，可以在几何面的无穷小区域上分别建立笛卡尔坐标系，因为任何一条曲线在无穷小区域上，必然近似为一条直线（曲线与直线是等价的），此时可以在每一个小的笛卡尔坐标系内用解析几何的方法定义出距离。然后在整个路径上对每一小段距离进行积分，从而定义出两点间的距离。
至此，定义了距离，直线就可以定义为两点间“距离”最短的线。但是，这仍然没有定义出唯一的直线，例如在球面上的最短线是圆弧，而在马鞍面上的最短线是曲线。接下来还需要加上欧几里得平行公理，定义几何空间为欧氏几何。
平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与之平行就是欧氏几何；有无数条平行线就是罗氏几何，没有平行线就是黎曼几何。
如此一来，直线的概念终于建立了，然而希尔伯特却说：点和直线不可定义。因为真正需要的是点和直线之间的关系，只要给出一个直线的定义，就是一套几何学。
下图为：欧氏几何、黎曼几何及罗氏几何
物理学上，一般定义直线为光走过的路径，但是微观尺度上光子因为量子效应不再具有通常意义上的轨迹，所以量子力学中没有轨迹这种几何概念。在某种意义上，几何学可能是不存在的，直线也就真的没有定义。
本文来自投稿，不代表天一生活立场，如若转载，请注明出处：http://tiyigo.com/baike/5559.html
